Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 202
Ile rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych spełnia równanie: a + b + c + ab + bc + ac = abc + 1, gdzie 0 < a ≤ b ≤ c?
Rozwiązanie
Należy zauważyć, że (a - 1)(b - 1)(c - 1) = abc - (ab + bc + ac) + (a + b + c) - 1
Podstawiając abc + 1 w miejsce (a + b + c) + (ab + bc + ac) z równania wyjściowego otrzymujemy
(a - 1)(b - 1)(c - 1) = 2(a + b + c - 1)
Jeśli przyjmiemy, że a > 3, to dla 3 < a ≤ b ≤ c jest (a - 1)(b - 1)(c - 1) ≥ 9(c - 1) oraz 2(a + b + c - 1) ≤ 2(3c - 1)
Ponieważ 9(c - 1) - 2(3c - 1) = 3c - 7 > 0, więc równanie (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 2(a + b + c - 1) nie może zachodzić
Zatem a ≤ 3
Dla a = 1 równanie nie ma rozwiązań
Dla a = 2 równanie przyjmuje postać (b - 3)(c - 3) = 10
Dla a = 3 równanie przyjmuje postać (b - 2)(c - 2) = 5
Dla a = 2 mamy dwa rozwiązania (2,4,13) (2,5,8), dla a = 3 jest jedno rozwiązanie (3,3,7). Łącznie równanie posiada trzy rozwiązania.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>