Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 204

Ile dzieników ma liczba 15! = 1307674368000?

Rozwiązanie

Liczba 15! to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do 15
15! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15

Korzystamy z twierdzenia o liczbie dzielników liczby naturalnej.
Liczba naturalna $n = {p_{1}}^{k_{1}} \cdot {p_{2}}^{k_{2}} \cdot ... \cdot {p_{i}}^{k_{i}}$ , gdzie $k_{1}, k_{2}, ..., k_{i} \in N_{+}$ oraz $p_{1}, p_{2}, ..., p_{i}$ to różne liczby pierwsze, ma dokładnie $(k_{1} + 1) \cdot (k_{2} + 1) \cdot ... \cdot (k_{i} + 1)$ dzielników.

Rozkładamy liczbę 1307674368000 na czynniki pierwsze
1307674368000 = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 = 2¹¹ · 3⁶ · 5³ · 7² · 11¹ · 13¹
Liczba dzielników równa jest (11 + 1) · (6 + 1) · (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 4032.

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>