Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 207
Ile jest liczb naturalnych 0 < n ≤ 2011 takich, że n4 - 1 jest podzielne przez 9?
Rozwiązanie
n4 - 1 = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1).
Przy dzieleniu przez 3 liczby n2 + 1 otrzymujemy resztę 1 albo 2, zatem liczba n4 - 1 jest podzielna przez 9 wtedy, gdy iloczyn (n - 1)(n + 1) jest podzielny przez 9.
Dla n ∈ {1, 2, ..., 2011} liczb n - 1 podzielnych przez 9 jest 224, a liczb postaci n + 1 podzielnych przez 9 jest 223. Razem jest 447 liczb naturalnych spełniających warunki zadania.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>