Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 208
Ile liczb naturalnych mniejszych od 102011 ma sumę cyfr równą 2?
Rozwiązanie
Liczba 102011 składa się z 2012 cyfr, których suma wynosi 1. Liczby mniejsze od 102011 są co najwyżej 2011-cyfrowe, a suma cyfr tych liczb jest równa 2 wtedy, gdy albo liczba jest postaci 2 · 10k, gdzie k = 0, 1, 2, ..., 2010, albo postaci 10k + 10n, gdzie 0 ≤ k < n < 2011.
Rozpatrzmy liczby jako ciągi 2011-wyrazowe, w których brakujące początkowe wyrazy uzupełniamy zerami. Wówczas ciągów zawierających jedną 2 i 2010 zer jest dokładnie 2011, a ciągów, w których występuą dokładnie dwie cyfry 1 i 2009 zer jest tyle ile 2-elementowych kombinacji zbioru 2011-elementowego.
Łącznie liczb spełniających warunki zadania jest .
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>