Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 211

Z sześciu jednakowych okręgów ułożono piramidę o wysokości 2. Ile wynosi promień okręgu?

Rozwiązanie

Niech r oznacza promień okręgu, oraz A, B, C będą środkami trzech skrajnych okręgów.
Wówczas trójkąt ABC jest równoboczny, o boku długości 4r.
Wysokość trójkąta równobocznego o boku a równa jest $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Wysokość trójkąta ABC wynosi $h = \frac{4 r \sqrt{3}}{2} = 2 r \sqrt{3}$ .
Wysokość piramidy to suma długości wysokości trójkąta i podwojonej długości promienia.
Zachodzi więc $2 r \sqrt{3} + 2 r = 2$
$r \sqrt{3} + r = 1$
$r = \frac{1}{\sqrt{3} + 1}$ .

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>