Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 215
Znajdź najmniejszą liczbę naturalną o tej własności, że przestawiając na początek cyfrę jedności, wartość liczby wzrośnie pięciokrotnie.
Rozwiązanie
Niech x = ...FEDCBA będzie szukaną liczbą.
Litery w tej liczbie oznaczają cyfry. Niech y oznacza liczbę pięciokrotnie większą od x, wówczas y = A...FEDCB
Liczby x i y mają taką samą liczbę cyfr, stąd wniosek, że cyfra największego rzędu w liczbie x musi być równa 1, a cyfra jedności A musi być większa lub równa 5.
Pomagając rachunkiem pisemnym sprawdzamy przypadki dla A > 4.
| 1 | ... | F | E | D | C | B | A |
| · | 5 | ||||||
| A | 1 | ... | F | E | D | C | B |
Cyfrę jedności iloczynu A przez 5 wpisujemy w miejsce B, a cyfrę dziesiątek, jeśli taka istnieje, nad cyfrę B w liczbie x i kontynuujemy rachunki tak długo, aż napotkamy cyfrę 1, a zaraz po niej sprawdzaną cyfrę A.
Najmniejszy iloczyn jest dla A = 7:
| 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 |
| · | 5 | ||||
| 7 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 |
Najmniejszą liczbą jest 142857
Liczba 142857 jest liczbą kolistą, czyli taką, której wynik z mnożenia kolejno przez 2, 3, 4, 5, 6 jest liczbą składającą się z tych samych cyfr co liczba wyjściowa, lecz w innej kolejności.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>