Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 216

Wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby $9^{8^{7^{.^{.^{1}}}}}$ .

Rozwiązanie

Niech $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 2^{a_{1}} = 2^{1}$ . Ogólnie, niech $a_{k} = k^{a_{k - 1}}$ .
wówczas należy znaleźć dwie ostatnie cyfry liczby $a_{9}$

Liczbę $a_{4}$ , $a_{5}$ , która kończy się na pewno dwiema cyframi 2 i 5 można policzyć, ale dalsze rachunki są dla kalkulatora niemożliwe, a dla komputera zbyt czasochłonne.
Należy zauważyć, że liczba $a_{6} = 6^{a_{5}}$ jest parzysta (łatwo dowieść, ze kończy się dwiema cyframi 7 i 6),
więc liczba $a_{7} = 7^{a_{6}} = (7^{a})^{2}$ , gdzie a to połowa a₆, jest kwadratem liczby nieparzystej.
Kwadrat liczby nieparzystej przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1, więc $a_{7} = 4 n + 1$ .
Dalej liczba $a_{8} = 8^{a_{7}} = 8^{4 n + 1} = 8 \cdot 8^{4 n}$
Ostatnią cyfrą liczby $8^{4 n}$ jest 6, więc liczba $a_{8}$ kończy się cyfrą 8, czyli daję resztę 8 przy dzieleniu przez 10, co można zapisać $a_{8} = 10 m + 8$ .
Liczba $a_{9} = 9^{a_{8}} = 9^{10 m + 8} = 9^{10 m} \cdot 9^{8}$ .
Dalej można skorzystać ze wzoru dwumianowego lub zauważyć, że ciąg utworzony z dwóch ostatnich cyfr rozwinięcia dziesiętnego wyrazów ciągu (9^m) dla m∈N jest okresowy o okresie 10. Liczba $9^{10 m}$ kończy się cyframi 0 i 1, dla dowolnego m. Stąd dwie ostatnie cyfry liczby $a_{9}$ są takie same co dwie ostatnie cyfry liczby $9^{8} = 43046721$ .
Dwie ostatnie cyfry liczby $9^{8^{7^{.^{.^{1}}}}}$ to 21.

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>