Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 233

Ile liczb naturalnych 0 < n ≤ 100 ma tę własność, że liczba nⁿ jest kwadratem liczby naturalnej?

Rozwiązanie

Jeśli n jest parzyste, to n = 2k, dla k = 1, 2, ..., 50.
Wówczas nⁿ = (2k)^2k = ((2k)^k)²
Liczba nⁿ jest kwadratem liczby (2k)^k.
Liczb parzystych w zbiorze {1, 2, ..., 100} jest 50.

Jeśli n jest nieparzyste, to n = 2k + 1, dla k = 0, 1, 2, ..., 49.
Jeśli liczba nⁿ jest kwadratem pewnej liczby a, to $a^{2} = n^{n} = n^{2 k + 1} = n^{2 k} \cdot n$
$n = \frac{a^{2}}{n^{2 k}} = (\frac{a}{n^{k}})^{2}$ .
Stąd wniosek, ze liczba n musi być kwadratem liczby naturalnej. Liczb nieparzystych mniejszych od 100 będących kwadratami jest 5: 1, 9, 25, 49, 81.
Łącznie liczb spełniających warunki zadania jest 50 + 5 = 55.

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>