Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 238
Jaka jest największa liczba naturalna o różnych cyfrach, podzielna przez każdą ze swoich cyfr?
Rozwiązanie
Szukana liczba nie może zawierać cyfry 0. Pozostaje dziewięć cyfr: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, z których należy wybrać możliwie najwięcej i tak je uporządkować, aby powstała liczba spełniała warunki zadania i była możliwie największa.
W dalszym rozumowaniu korzystamy z cech podzielności liczb.
Na początku należy zauważyć, że liczba nie może zawierać jednocześnie cyfr 2 i 5, ponieważ musiałaby kończyć się cyfrą 0, co jest oczywiście zabronione. Zatem jedną z tych cyfr należy odrzucić.
Jeśli pozostawimy 5, to liczba będzie musiała kończyć się właśnie cyfrą 5, więc będziemy musieli pozbyć się wszystkich cyfr parzystych. Pozostaną cyfry: 9, 7, 5, 3, 1, z których można ułożyć co najwyżej liczbę czterocyfrową 9315.
Odrzucając cyfrę 5 mamy do dyspozycji osiem cyfr: 9, 8, 7, 6, 4, 3, 2, 1, których suma wynosi 40. Suma ta nie jest podzielna przez 3 i przez 9, więc nie można ułożyć liczby ze wszystkich tych cyfr. Odrzucając cyfrę 4 uzyskamy sumę podzielną i przez 3 i przez 9.
Mamy do dyspozycji siedem cyfr: 9, 8, 7, 6, 3, 2, 1, i wystarczy, aby liczba ułożona z tych siedmiu cyfr spełniała warunki podzielności przez 8 i przez 7, pozostałe podzielności będą spełnione. Dążymy przy tym, aby liczba była możliwie największa.
Liczba 9876312 spełnia warunek podzielności przez 8, ale nie przez 7. Pozostawiając trzy pierwsze cyfry 987 i przestawiając dowolnie cyfry 1, 2, 3, 6, nie otrzymujemy liczby spełniającej obie podzielności. Kontynuując takie rozumowanie szybko znajdujemy liczbę 9867312, która spełnia obie te podzielności i jest szukaną liczbą, która jest podzielna przez każdą ze swoich cyfr.
Największa liczba naturalna, podzielna przez każdą ze swoich cyfr, to 9867312.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>