logowanie


matematyka » zadania » zbiór zadań » rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 239

Znajdź najmniejszą liczbę naturalną o tej własności, że przestawiając na początek cyfrę jedności, wartość liczby wzrośnie trzykrotnie.


Rozwiązanie

Niech x = ...FEDCBA będzie szukaną liczbą.
Litery w tej liczbie oznaczają cyfy. Niech y oznacza liczbę pięciokrotnie większą od x, wówczas y = A...FEDCB
Liczby x i y mają taką samą ilość cyfr, więc cyfra największego rzędu w liczbie x musi być równa 1, 2 lub 3, a cyfra jedności A musi być większa lub równa od 3.
Pomagając rachunkiem pisemnym należy sprawdzić przypadki dla 3 ≤ A ≤ 9.

Dla A = 3, cyfra największego rzędu w liczbie x musi być równa 1.
Mamy zatem:

1...FEDCBA
·       3

A1...FEDCB

Cyfrę jedności iloczynu A przez 3 wpisujemy w miejsce B, a cyfrę dziesiątek, jeśli taka istnieje, nad cyfrę B w liczbie x i kontynuujemy rachunki tak długo, aż napotkamy cyfrę 1, a zaraz po niej sprawdzaną cyfrę 3.
Dla A = 3 otrzymujemy liczbę 1034482758620689655172413793
Dla A = 4: 1379310344827586206896551724
Dla A = 5: 1724137931034482758620689655
Dla A = 6: 2068965517241379310344827586
Dla A = 7: 2413793103448275862068965517
Dla A = 8: 2758620689655172413793103448
Dla A = 9: 3103448275862068965517241379

Najmniejszą liczbą spełniającą warunki zadania jest liczba 1034482758620689655172413793.
Liczba ta jest okresem rozwinięcia dziesiętnego ułamka 329.


Poniżej tabela przedstawiająca najmniejsze rozwiązania problemu ogólnego, gdzie należy znaleźć najmniejszą liczbę taką, w której przestawiając na początek cyfrę jedności, wartość tej liczby wzrośnie odpowiednio dwu- trzy-, ..., dziewięcio-krotnie . Każda z tych liczb występuje w rozwinięciu dziesiętnym pewnego ułamka.
Za wyjątkiem n = 5, dla pozostałych n rozwiązaniem jest okres ułamka n10n-1

n najmniejsza liczba okres ułamka
1 11 19
2 105263157894736842 219
3 1034482758620689655172413793 329
4 102564 439
5 142857 17
6 10169491525423728813559932203389830508474576271186440677966 659
7 1014492753623188405797 769
8 1012658227848 879
9 10112359550561797752808988764044943820224719 989


powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>





© 2023 math.edu.pl      kontakt