Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 239

Znajdź najmniejszą liczbę naturalną o tej własności, że przestawiając na początek cyfrę jedności, wartość liczby wzrośnie trzykrotnie.

Rozwiązanie

Niech x = ...FEDCBA będzie szukaną liczbą.
Litery w tej liczbie oznaczają cyfy. Niech y oznacza liczbę pięciokrotnie większą od x, wówczas y = A...FEDCB
Liczby x i y mają taką samą ilość cyfr, więc cyfra największego rzędu w liczbie x musi być równa 1, 2 lub 3, a cyfra jedności A musi być większa lub równa od 3.
Pomagając rachunkiem pisemnym należy sprawdzić przypadki dla 3 ≤ A ≤ 9.

Dla A = 3, cyfra największego rzędu w liczbie x musi być równa 1.
Mamy zatem:

1	...	F	E	D	C	B	A
·							3

A	1	...	F	E	D	C	B

Cyfrę jedności iloczynu A przez 3 wpisujemy w miejsce B, a cyfrę dziesiątek, jeśli taka istnieje, nad cyfrę B w liczbie x i kontynuujemy rachunki tak długo, aż napotkamy cyfrę 1, a zaraz po niej sprawdzaną cyfrę 3.
Dla A = 3 otrzymujemy liczbę 1034482758620689655172413793
Dla A = 4: 1379310344827586206896551724
Dla A = 5: 1724137931034482758620689655
Dla A = 6: 2068965517241379310344827586
Dla A = 7: 2413793103448275862068965517
Dla A = 8: 2758620689655172413793103448
Dla A = 9: 3103448275862068965517241379

Najmniejszą liczbą spełniającą warunki zadania jest liczba 1034482758620689655172413793.
Liczba ta jest okresem rozwinięcia dziesiętnego ułamka $\frac{3}{29}$ .

Poniżej tabela przedstawiająca najmniejsze rozwiązania problemu ogólnego, gdzie należy znaleźć najmniejszą liczbę taką, w której przestawiając na początek cyfrę jedności, wartość tej liczby wzrośnie odpowiednio dwu- trzy-, ..., dziewięcio-krotnie . Każda z tych liczb występuje w rozwinięciu dziesiętnym pewnego ułamka.
Za wyjątkiem n = 5, dla pozostałych n rozwiązaniem jest okres ułamka $\frac{n}{10 n - 1}$

n	najmniejsza liczba	okres ułamka
1	11	$\frac{1}{9}$
2	105263157894736842	$\frac{2}{19}$
3	1034482758620689655172413793	$\frac{3}{29}$
4	102564	$\frac{4}{39}$
5	142857	$\frac{1}{7}$
6	10169491525423728813559932203389830508474576271186440677966	$\frac{6}{59}$
7	1014492753623188405797	$\frac{7}{69}$
8	1012658227848	$\frac{8}{79}$
9	10112359550561797752808988764044943820224719	$\frac{9}{89}$

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>