logowanie


matematyka » zadania » zbiór zadań » rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 241

Ile liczb naturalnych n mniejszych od miliona ma tę własność, że kwadrat liczby n ma trzy razy więcej dzielników naturalnych niż liczba n?


Rozwiązanie

Niech p1a1·p2a2··pkak jest rozkładem liczby naturalnej n na czynniki pierwsze. Wówczas liczba dzielników liczby n równa jest d(n)=(1+a1)(1+a2)··(1+ak).
Kwadrat liczby n ma d(n2)=(1+2a1)(1+2a2)··(1+2ak) dzielników.
Ponieważ kwadrat liczby n ma trzy razy więcej dzielników naturalnych niż liczba n, więc otrzymujemy równanie 3·(1+a1)(1+a2)··(1+ak)=(1+2a1)(1+2a2)··(1+2ak).
Dla k = 1 otrzymujemy równanie 3(1+a1)=1+2a1, które nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych.
Dla k większego od 2 także otrzymujemy sprzeczność. Liczba k musi być równa 2, a liczba n=p1a1·p2a2, gdzie p1, p2 to różne liczby pierwsze.

Otrzymujemy równanie 3(1+a1)(1+a2)=(1+2a1)(1+2a2),
które po przekształceniu równoważne jest (a1-1)(a2-1)=3.
Rozwiązaniem są pary liczb a1 = 2 i a2 = 4 lub a1 = 4 i a2 = 2.
Stąd prawdziwe jest twierdzenie, że jeśli kwadrat liczby n ma trzy razy więcej dzielników naturalnych niż liczba n, to liczba n jest postaci n=p12·p24, gdzie p1, p2 to różne liczby pierwsze i ma dokładnie d(n) = (1 + 2)(1 + 4) = 15 dzielników.

Liczb naturalnych mniejszych od milona o tej własności jest 108.

22 · 34 = 324
22 · 54 = 2500
22 · 74 = 9604
22 · 114 = 58564
22 · 134 = 114244
22 · 174 = 334084
22 · 194 = 521284
32 · 24 = 144
32 · 54 = 5625
32 · 74 = 21609
32 · 114 = 131769
32 · 134 = 257049
32 · 174 = 751689
52 · 24 = 400
52 · 34 = 2025
52 · 74 = 60025
52 · 114 = 366025
52 · 134 = 714025
72 · 24 = 784
72 · 34 = 3969
72 · 54 = 30625
72 · 114 = 717409
112 · 24 = 1936
112 · 34 = 9801
112 · 54 = 75625
112 · 74 = 290521
132 · 24 = 2704
132 · 34 = 13689
132 · 54 = 105625
132 · 74 = 405769
172 · 24 = 4624
172 · 34 = 23409
172 · 54 = 180625
172 · 74 = 693889
192 · 24 = 5776
192 · 34 = 29241
192 · 54 = 225625
192 · 74 = 866761
232 · 24 = 8464
232 · 34 = 42849
232 · 54 = 330625
292 · 24 = 13456
292 · 34 = 68121
292 · 54 = 525625
312 · 24 = 15376
312 · 34 = 77841
312 · 54 = 600625
372 · 24 = 21904
372 · 34 = 110889
372 · 54 = 855625
412 · 24 = 26896
412 · 34 = 136161
432 · 24 = 29584
432 · 34 = 149769
472 · 24 = 35344
472 · 34 = 178929
532 · 24 = 44944
532 · 34 = 227529
592 · 24 = 55696
592 · 34 = 281961
612 · 24 = 59536
612 · 34 = 301401
672 · 24 = 71824
672 · 34 = 363609
712 · 24 = 80656
712 · 34 = 408321
732 · 24 = 85264
732 · 34 = 431649
792 · 24 = 99856
792 · 34 = 505521
832 · 24 = 110224
832 · 34 = 558009
892 · 24 = 126736
892 · 34 = 641601
972 · 24 = 150544
972 · 34 = 762129
1012 · 24 = 163216
1012 · 34 = 826281
1032 · 24 = 169744
1032 · 34 = 859329
1072 · 24 = 183184
1072 · 34 = 927369
1092 · 24 = 190096
1092 · 34 = 962361
1132 · 24 = 204304
1272 · 24 = 258064
1312 · 24 = 274576
1372 · 24 = 300304
1392 · 24 = 309136
1492 · 24 = 355216
1512 · 24 = 364816
1572 · 24 = 394384
1632 · 24 = 425104
1672 · 24 = 446224
1732 · 24 = 478864
1792 · 24 = 512656
1812 · 24 = 524176
1912 · 24 = 583696
1932 · 24 = 595984
1972 · 24 = 620944
1992 · 24 = 633616
2112 · 24 = 712336
2232 · 24 = 795664
2272 · 24 = 824464
2292 · 24 = 839056
2332 · 24 = 868624
2392 · 24 = 913936
2412 · 24 = 929296


powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>





© 2023 math.edu.pl      kontakt