Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 241

Ile liczb naturalnych n mniejszych od miliona ma tę własność, że kwadrat liczby n ma trzy razy więcej dzielników naturalnych niż liczba n?

Rozwiązanie

Niech ${p_{1}}^{a_{1}} \cdot {p_{2}}^{a_{2}} \cdot \dots \cdot {p_{k}}^{a_{k}}$ jest rozkładem liczby naturalnej n na czynniki pierwsze. Wówczas liczba dzielników liczby n równa jest $d (n) = (1 + a_{1}) (1 + a_{2}) \cdot \dots \cdot (1 + a_{k})$ .
Kwadrat liczby n ma $d (n^{2}) = (1 + 2 a_{1}) (1 + 2 a_{2}) \cdot \dots \cdot (1 + 2 a_{k})$ dzielników.
Ponieważ kwadrat liczby n ma trzy razy więcej dzielników naturalnych niż liczba n, więc otrzymujemy równanie $3 \cdot (1 + a_{1}) (1 + a_{2}) \cdot \dots \cdot (1 + a_{k}) = (1 + 2 a_{1}) (1 + 2 a_{2}) \cdot \dots \cdot (1 + 2 a_{k})$ .
Dla k = 1 otrzymujemy równanie $3 (1 + a_{1}) = 1 + 2 a_{1}$ , które nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych.
Dla k większego od 2 także otrzymujemy sprzeczność. Liczba k musi być równa 2, a liczba $n = {p_{1}}^{a_{1}} \cdot {p_{2}}^{a_{2}}$ , gdzie p₁, p₂ to różne liczby pierwsze.

Otrzymujemy równanie $3 (1 + a_{1}) (1 + a_{2}) = (1 + 2 a_{1}) (1 + 2 a_{2})$ ,
które po przekształceniu równoważne jest $(a_{1} - 1) (a_{2} - 1) = 3$ .
Rozwiązaniem są pary liczb a₁ = 2 i a₂ = 4 lub a₁ = 4 i a₂ = 2.
Stąd prawdziwe jest twierdzenie, że jeśli kwadrat liczby n ma trzy razy więcej dzielników naturalnych niż liczba n, to liczba n jest postaci $n = {p_{1}}^{2} \cdot {p_{2}}^{4}$ , gdzie p₁, p₂ to różne liczby pierwsze i ma dokładnie d(n) = (1 + 2)(1 + 4) = 15 dzielników.

Liczb naturalnych mniejszych od milona o tej własności jest 108.

2² · 3⁴ = 324
2² · 5⁴ = 2500
2² · 7⁴ = 9604
2² · 11⁴ = 58564
2² · 13⁴ = 114244
2² · 17⁴ = 334084
2² · 19⁴ = 521284
3² · 2⁴ = 144
3² · 5⁴ = 5625
3² · 7⁴ = 21609
3² · 11⁴ = 131769
3² · 13⁴ = 257049
3² · 17⁴ = 751689
5² · 2⁴ = 400
5² · 3⁴ = 2025
5² · 7⁴ = 60025
5² · 11⁴ = 366025
5² · 13⁴ = 714025
7² · 2⁴ = 784
7² · 3⁴ = 3969
7² · 5⁴ = 30625
7² · 11⁴ = 717409
11² · 2⁴ = 1936
11² · 3⁴ = 9801
11² · 5⁴ = 75625
11² · 7⁴ = 290521
13² · 2⁴ = 2704
13² · 3⁴ = 13689
13² · 5⁴ = 105625
13² · 7⁴ = 405769
17² · 2⁴ = 4624
17² · 3⁴ = 23409
17² · 5⁴ = 180625
17² · 7⁴ = 693889
19² · 2⁴ = 5776
19² · 3⁴ = 29241
19² · 5⁴ = 225625
19² · 7⁴ = 866761
23² · 2⁴ = 8464
23² · 3⁴ = 42849
23² · 5⁴ = 330625
29² · 2⁴ = 13456
29² · 3⁴ = 68121
29² · 5⁴ = 525625
31² · 2⁴ = 15376
31² · 3⁴ = 77841
31² · 5⁴ = 600625
37² · 2⁴ = 21904
37² · 3⁴ = 110889
37² · 5⁴ = 855625
41² · 2⁴ = 26896
41² · 3⁴ = 136161
43² · 2⁴ = 29584
43² · 3⁴ = 149769
47² · 2⁴ = 35344
47² · 3⁴ = 178929
53² · 2⁴ = 44944
53² · 3⁴ = 227529
59² · 2⁴ = 55696
59² · 3⁴ = 281961
61² · 2⁴ = 59536
61² · 3⁴ = 301401
67² · 2⁴ = 71824
67² · 3⁴ = 363609
71² · 2⁴ = 80656
71² · 3⁴ = 408321
73² · 2⁴ = 85264
73² · 3⁴ = 431649
79² · 2⁴ = 99856
79² · 3⁴ = 505521
83² · 2⁴ = 110224
83² · 3⁴ = 558009
89² · 2⁴ = 126736
89² · 3⁴ = 641601
97² · 2⁴ = 150544
97² · 3⁴ = 762129
101² · 2⁴ = 163216
101² · 3⁴ = 826281
103² · 2⁴ = 169744
103² · 3⁴ = 859329
107² · 2⁴ = 183184
107² · 3⁴ = 927369
109² · 2⁴ = 190096
109² · 3⁴ = 962361
113² · 2⁴ = 204304
127² · 2⁴ = 258064
131² · 2⁴ = 274576
137² · 2⁴ = 300304
139² · 2⁴ = 309136
149² · 2⁴ = 355216
151² · 2⁴ = 364816
157² · 2⁴ = 394384
163² · 2⁴ = 425104
167² · 2⁴ = 446224
173² · 2⁴ = 478864
179² · 2⁴ = 512656
181² · 2⁴ = 524176
191² · 2⁴ = 583696
193² · 2⁴ = 595984
197² · 2⁴ = 620944
199² · 2⁴ = 633616
211² · 2⁴ = 712336
223² · 2⁴ = 795664
227² · 2⁴ = 824464
229² · 2⁴ = 839056
233² · 2⁴ = 868624
239² · 2⁴ = 913936
241² · 2⁴ = 929296

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>