Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 243
Ile maksymalnie może być punktów przecięcia się prostych zawierających przekątne dziesięciokąta wypukłego, leżących poza tym wielokątem?
Rozwiązanie
Aby przecięć było jak najwięcej należy przyjąć, że żadne dwie przekątne nie są równoległe oraz żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie.
Punkt przecięcia wewnątrz wielokąta jest jednoznacznie wyznaczony przez cztery wierzchołki n-kąta. Liczba tych punktów równa jest ${n \choose 4}$. Wszystkich przekątnych w n-kącie jest $\frac{n(n-3)}{2}$, a z każdego wierzchołka n-kąta wychodzi n-3 przekątnych. Każda prosta zawierająca przekątną AB przecina się ze wszystkimi prostymi zawierającymi przekątne łączące wierzchołki różne od A i B. Liczba tych przecięć wynosi $\frac{n(n-3)}{2} - 2(n-3)+1 = \frac{(n-3)(n-4)}{2} + 1$.
Ponieważ liczba przekątnych równa jest $\frac{n(n-3)}{2}$, a każdy punkt przecięcia jest liczony dwukrotnie, więc wszystkich punktów przecięcia się prostych zawierających przekątne jest $\frac{1}{8}(n-3)((n-3)(n-4)+2)$.
Odejmując od tej liczby liczbę wewnętrznych punktów przecięcia, otrzymujemy, że liczba zewnętrznych punktów przecięcia równa jest $\frac{1}{12}n (n-3)(n-4)(n-5)$
Dla n=10 mamy 175 punktów przecięcia leżących poza dziesięciokątem.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>