Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 244
Kwadrat został podzielony na 16 jednakowych kwadratów. Na ile sposobów można je pomalować czterema różnymi kolorami tak, aby w każdym wierszu i każdej kolumnie znalazły się wszystkie cztery kolory?
Rozwiązanie
W pierwszym wierszu możemy ułożyć kolory w dowolnej kolejności na 4! = 24 sposoby, po czym w pierwszej kolumnie można w dowolny sposób rozmieścić trzy kolory, różne od koloru w kwadracie narożnym, na 3! = 6 sposobów.
Niech diagram poniżej przedstawia jeden ze sposobów takiego kolorowania, na którym kolory zastąpiono liczbami.
Jeśli pierwszy wiersz i pierwsza kolumna jest wyznaczona, pozostaje pokolorować kwadrat 3 × 3 tak, aby w kolumnach i wierszach całego diagramu znalazły się wszystkie cztery kolory.
W drugim wierszu i pierwszej kolumnie znany jest kolor (2), więc wiersz ten można pokolorować na jeden z trzech sposobów: (2,3,4,1), (2,4,1,3), (2,1,4,3). Sposób pierwszy i drugi jednoznacznie wyznacza pozostałe kolory komórek diagramu, sposób trzeci daje dwie możliwości pomalowania pozostałych 4 komórek.
Ogółem otrzymujemy 4! · 3! · 4 = 576 sposobów pomalowania kwadratu.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>