Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 251
Ile jest różnych sposobów przedstawienia liczby 1000000 w postaci iloczynu trzech czynników?
Rozwiązanie
Ponieważ $1000000 = 2^6 \cdot 5^6$, więc rozkład miliona na trzy czynniki ma postać $1000000 = (2^{a_1} \cdot 5^{b_1})(2^{a_2} \cdot 5^{b_2})(2^{a_3} \cdot 5^{b_3})$, gdzie $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3$ są takimi liczbami naturalnymi, że $a_1+a_2+a_3 = b_1+b_2+b_3 = 6$.
Ponieważ 6 można rozłożyć na 3 składniki całkowite nieujemne za pomocą 28 sposobów, więc uwzględniając porządek czynników mamy $28^2=784$ rozkłady.
Rozkłady te można podzielić na trzy grupy:
1. wszystkie czynniki jednakowe
2. dwa czynniki takie same, trzeci różny
3. wszystkie czynniki różne.
W pierwszej grupie jest tylko jeden rozkład. W drugiej grupie, jeśli czynniki identyczne są postaci $2^a \cdot 5^b$ to otrzymujemy, że $2a + a_3 = 2b + b_3 = 6$.
Równanie $2x +y = 6$ ma cztery rozwiązania w liczbach całkowitych nieujemnych, więc kombinacji dla $2^a \cdot 5^b$ mamy 16. Jeden z tych wariantów ($2^2 \cdot 5^2$) trzeba odrzucić, gdyż daje rozkład z pierwszej grupy. Łącznie dla tej grupy mamy $15$ wariantów. Każdy z tych wariantów prowadzi do trzech rozkładów, zależnie od miejsca zajmowanego przez trzeci czynnik.
Liczba rozkładów należących do trzeciej grupy jest równa $784-1- 3\cdot15 = 738$. Rozkłady te dzielą się na sposoby różniące się jedynie kolejnością czynników, z których każdy składa się z 6 wariantów.
Jeśli nie będziemy brać pod uwagę kolejności czynników, to otrzymamy $1 + 15 + 123 = 139$ rozkładów.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>