logowanie


matematyka » zadania » zbiór zadań » rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 252

Na płaszczyźnie poprowadzono dwa pęki prostych o środkach A i B takie, że żadne dwie proste nie są równoległe i żadna prosta nie przechodzi przez dwa punkty A i B. Jeden pęk zawiera 10, drugi zaś 8 prostych. Na ile części proste należące do obu pęków dzielą płaszczyznę?


Rozwiązanie

Niech do pierwszego pęku należy $n$ prostych, a do drugiego $m$.
Proste należące do pierwszego pęku dzielą płaszczyznę na $2n$ części. Pierwsza prosta z drugiego pęku przecina wszystkie $m$ prostych pierwszego pęku i daje $m+1$ nowych części.
Wszystkie pozostałe proste drugiego pęku mają $m+1$ punktów przecięcia z wcześniej poprowadzonymi prostymi. Ogółem mamy $2m + m + 1 + (n-1)(m+2) = nm + 2n + 2m - 1$ części.

Dla $n = 10$ i $m = 8$ otrzymujemy 115 części.


powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>





© 2023 math.edu.pl      kontakt