Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 256
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o powierzchni równej 16 i przekątnej długości 3. Ile wynosi suma długości wszystkich jego krawędzi?
Rozwiązanie
Mamy prostopadłościan o podstawie kwadratu. Oznaczenia:
a - bok podstawy prostopadłościanu,
h - wysokość prostopadłościanu,
d - przekątna prostopadłościanu,
P - pole powierzchni prostopadłościanu,
S - suma długości wszystkich krawędzi,
Z treści zadania mamy
$\left\{\begin{matrix} d^2 = h^2 +2a^2 \\ P = 2a^2 +4ah \end{matrix}\right.$
Dodając równania stronami otrzymujemy $d^2+P = h^2 +4a^2 +4ah = (2a +h)^2$. Stąd $2a +h = \sqrt{d^2+P}$
Suma długości wszystkich krawędzi równa jest $S = 8a +4h = 4(2a +h) = 4\sqrt{d^2+P}$.
Dla $d = 3$ i $P = 16$ suma $S$ równa jest $20$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>