Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 259
Ile istnieje uporządkowanych par liczb całkowitych dodatnich $x$, $y$ mniejszych od 1000 takich, że suma $x^2+y^2$ jest podzielna przez 49?
Rozwiązanie
Jeśli przy dzieleniu przez $x$ otrzymujemy reszty 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, to dzieląc $x^2$ przez 7 otrzymujemy reszty 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1. Stąd $x^2+y^2$ jest podzielne przez 49 wtedy, gdy $x$ i $y$ są podzielne przez 7.
Zatem ilość uporządkowanych par równa jest ${\[\frac{999}{7}\]}^2 = 142^2 = 20164$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>