Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 260
Dla ilu naturalnych $x<100$ liczba $x^{100} - 1$ jest podzielna przez 7?
Rozwiązanie
Z małego twierdzenia Fermata mamy, że dla każdej liczby $x$ niepodzielnej przez przez 7 zachodzi kongruencja $x^6\equiv 1(mod 7)$. Ponieważ $100 = 6 \cdot 16 + 4$, więc dla $x$ kongruencja $x^{100}\equiv 1(mod 7)$ jest równoważna $x^4\equiv 1(mod 7)$, której pierwiastkami są 1 i 6. Liczby te nie są podzielne przez 7, więc rozwiązaniami są wszystkie liczby $7k+1, 7k+6$, gdzie $k\in\{0,1,2,...\}$.
Liczb spełniających warunki zadania jest 29.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>