Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 270
Jakie są ostatnie dwie cyfry liczby $3^{4^{5^{2012}}}$?
Rozwiązanie
Ponieważ dwie ostatnie cyfry potęgi liczby 3 i 4 są okresowe odpowiednio o okresach 20 i 10, więc wystarczy wyszukać dwie ostatnie cyfry kolejnych potęg. Ostatnie dwie cyfry liczby $5^{2012}$ to 25. Ostatnie dwie cyfry potęgi liczby 4 powtarzają się począwszy od wykładnika 1 w okresie co 10 i wynoszą odpowiednio 04, 16, 64, 56, 24, 96, 84, 36, 44, 76. Reszta z dzielenia 25 przez 10 wynosi 5, więc ostanie dwie cyfry liczby $4^{...25}$ to 24.
Ostatnie dwie cyfry potęgi liczby 3 powtarzają się począwszy od wykładnika 1 w okresie co 20 i wynoszą odpowiednio 03, 09, 27, 81, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 07, 21, 63, 89, 67, 01. Reszta z dzielenia 24 przez 20 wynosi 4, zatem ostanie dwie cyfry liczby $3^{...24}$ to $81$.
Liczba $3^{4^{5^{2012}}}$ kończy się cyframi 81.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>