Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 277
Ile liczb naturalnych $n$ $(n>0)$ nie można przedstawić za pomocą skończonej ($\ge 1$) sumy liczb postaci $a^b$, gdzie $a, b$ są liczbami naturalnymi większymi od 1?
Rozwiązanie
Są to liczby: $1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 19, 23$
Żadna z tych liczb nie jest sumą skończonej liczby potęg, którymi są kolejne liczby $2^2, 2^3, 3^2, 2^4=4^2, ...$
Niech $n$ oznacza liczbę naturalną, różną od każdej z 12 wyżej wymienionych liczb.
1. Jeżeli $n = 4k$, dla naturalnego $k$, to liczba $n$ jest sumą $k$ liczb $2^2$
2. Jeżeli $n = 4k +1$, to wobec $n\neq 1$ i $n\neq 5$ możemy założyć, że $k\ge2$, i mamy $n = 4k +1 = 3^2 + 4(k -2)$,
gdzie $(k-2)\ge 0$. Jeśli $k=2$, to $n=3^2$, jeśli $k>2$, to $n = 3^2+2^2+...+2^2$, gdzie składników $2^2$ mamy $k-2$.
3. Jeśli $n = 4k +2$, to ponieważ $n$ jest różne od liczb 6, 10, 14, więc mamy $k\ge4$ oraz $n=4k+2=3^2+3^2 + 4(k-4)$, skąd otrzymujemy, że $n$ ma żądaną własność.
4. Jeśli $n = 4k +3$, to wobec $n\neq 3, 7, 11, 15, 19, 23$ mamy $k\ge6$ i $n = 3^3 +4(k-6)$, więc ponownie otrzymujemy żądaną własność.
Cztery punkty dowodzą, że tylko 12 liczb spełnia warunki zadania.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>