Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 278
Każdy bok kwadratu podzielono na 4 części. Ile można zbudować trójkątów, których wierzchołkami będą punkty podziału?
Rozwiązanie
Podzielmy bok kwadratu na $n$ części. Rozróżniamy dwa rodzaje trójkątów: albo wszystkie trzy wierzchołki leżą na różnych bokach kwadratu, albo dwa leżą na jednym boku kwadratu, a trzeci na którymkolwiek z pozostałych. W przypadku pierwszym należy wybrać trzy spośród czterech boków kwadratu (${4 \choose 3} = 4$ sposoby), a następnie na każdym z tych trzech boków wybrać po jednym punkcie spośród $n-1$ punktów. Razem mamy $4(n-1)^3$ sposobów wyboru.
W przypadku drugim należy wybrać boki, na których leżą dwa wierzchołki (4 sposoby wyboru) i dwa punkty spośród $n-1$ (${{n-1} \choose 2}$ sposobów), po czym jeden spośród pozostałych trzech boków (3 sposoby) i punkt na nim ($n-1$ sposobów). Razem w przypadku drugim jest $12(n-1) \cdot {{n-1} \choose 2}$ sposobów wyboru.
Razem otrzymujemy $4(n-1)^3 + 12(n-1) \cdot {{n-1} \choose 2} = 2(n-1)^2(5n-8)$ sposobów wyboru.
Dla $n=4$ otrzymujemy 216 sposobów.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>