Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 279
W pewnym czworościanie każda z krawędzi ma inną długość. Ile jest płaszczyzn położonych w równej odległości od każdego z wierzchołków czworościanu?
Rozwiązanie
Rozpatrzmy przypadki zależnie od tego, ile wierzchołków jest po obu stronach płaszczyzny. Są trzy możliwości rozmieszczenia wierzchołków po dwóch stronach płaszczyzny: 4-0, 3-1, 2-2. W pierwszym przypadku nie może się zdarzyć, aby wszystkie 4 punkty były od płaszczyzny tak samo odległe. W przypadku 3-1 szukana płaszczyzna musi być równoległa do ściany wyznaczonej przez trzy wierzchołki leżące po jednej stronie. Są 4 takie płaszczyzny. W ostatniej możliwości 2-2 proste wyznaczone przez krawędzie po różnych stronach płaszczyzny są skośne. Istnieje dokładnie jedna płaszczyzna równoległa do obu krawędzi i w tej samej odległości od tej krawędzi. Układ ten możemy otrzymać na 3 sposoby.
Łącznie mamy 7 płaszczyzn jednakowo oddalonych od każdego z wierzchołków czworościanu.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>