Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 283
Dla ilu cyfr jest możliwe, aby liczby $2^n$ i $5^n$, dla dowolnego naturalnego $n$ zaczynały się tą samą cyfrą?
Rozwiązanie
Przypuśćmy, że pierwszą cyfrą obu liczb jest $x$. Dla $n=0$ mamy $2^n=1$ i $5^n=1$, zatem $x=1$ spełnia warunki zadania. Załóżmy dalej, że $n>0$. Zauważmy, że $2^n \cdot 5^n = 10^n$ i dokonajmy oszacowań umieszczając badane liczby między iloczynami $x$ oraz kolejnymi potęgami liczby 10.
Zarówno $2^n$ i $5^n$ nie są podzielne przez $10$, więc istnieją takie liczby naturalne $k, l$, że $x \cdot 10^k < 2^n < (x+1)\cdot 10^l$ oraz $x \cdot 10^k < 5^n < (x+1)\cdot 10^l$. Mnożąc nierówności stronami otrzymujemy $1 \le x^2 < 10^{n-k-l} < (x+1)^2 \le 100$, skąd $n-k-l=1$. Wobec tego $x^2 < 10 < (x+1)^2$, skąd $x=3$
Jest możliwe, aby liczby $2^n$ i $5^n$ dla pewnego naturalnego $n$ zaczynały się cyfrą 1 lub 3.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>