Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 291
Ile jest liczb naturalnych, których zapis dziesiętny złożony jest z różnych cyfr?
Rozwiązanie
Liczb jednocyfrowych jest $10$.
Liczb dwucyfrowych o różnych cyfrach jest $9 \cdot 9 = 81$
Liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach jest $9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$.
Liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach jest $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$.
...
Liczb dziesięciocyfrowych o różnych cyfrach jest $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3265920$.
łącznie otrzymujemy $10 + (9 \cdot 9) + (9 \cdot 9 \cdot 8) + (9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7) + ... + (9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 8877691$
Ogólnie, niech $N(n)$ oznacza ilość liczb n-cyfrowych dodatnich, których zapis dziesiętny złożony jest z różnych cyfr.
$N(n) = 10 \cdot 9 \cdot ... \cdot (11-n) - 9 \cdot 8 \cdot ... \cdot (11-n) = \frac{9\cdot9!}{(10-n)!}$.
Dla $n = 1, 2, ..., 10$ otrzymujemy kolejno $9, 81, 648, 4536, 27216, 136080, 544320, 1632960, 3265920, 3265920$, których suma równa jest $8877690$. Uwzględniając liczbę zero łącznie mamy $8877691$ liczb spełniających warunki zadania.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>