Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 293
Na ile sposobów można spośród 2013-tu kolejnych liczb całkowitych wybrać takie trzy liczby, aby ich suma była podzielna przez 3?
Rozwiązanie
Możliwe są następujące przypadki: podzielne przez $3$ są albo wszystkie trzy składniki, albo jeden składnik, albo żaden.
Wśród kolejnych $2013$ liczb całkowitych jest po $671$, które dają resztę $0, 1, 2$.
W pierwszym przypadku mamy ${{671} \choose {3}}$ sposobów wyboru składników.
W przypadku drugim jeden składnik daje resztę $1$, a pozostałe resztę $2$. Mamy zatem ${{671} \choose {1}}^3$ sposobów wyboru składników.
W trzecim przypadku, gdy żadne trzy składniki nie są podzielne przez $3$, to wówczas albo dają reszty $1,1,1$, albo reszty $2,2,2$. Mamy $2\cdot{{671} \choose {3}}$ sposobów.
łącznie mamy $3\cdot{{671} \choose {3}} + 671^3 = 452492876$ sposobów wyboru składników.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>