Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 294
Wyznacz największą liczbę naturalną, która jest o $1$ większa od sumy kwadratów swoich cyfr.
Rozwiązanie
Niech $f(n)$ będzie funkcją przyporządkowującą liczbie $n$ sumę kwadratów jej cyfr.
Należy znaleźć takie $n$, że $n = f(n)+1$ i $n$ jest maksymalnie duże. Niech $k$ będzie liczbą cyfr liczby $n$.
Musi zachodzić $k\ge2$ oraz $f(n)\le 9^2k$
Mamy zatem $f(n)+1-n \le 81k+1-10^{k-1}$, skąd $10^{k-1}\le 81k+1$.
Możemy przyjąć oszacowanie $10^{k-1} < 100k$, skąd $10^{k-3} < k$.
Stąd wynika, że $k=2$ lub $k=3$.
Dla $k=3$ liczba $n$ ma postać $100a+10b+c$, gdzie $a,b,c \in \{0,1,...,9\}$ i $a$ jest różne od zera.
Musi zachodzić zatem $100a+10b+c = a^2+b^2+c^2+1$. Liczba $n$ musi być mniejsza lub równa od $9^2+9^2+9^2+1=244$.
Wśród liczb trzycyfrowych mniejszych od $244$ nie ma liczb spełniających warunki zadania. Wśród liczb dwucyfrowych są dwie liczby o $1$ większe od sumy kwadratów swoich cyfr i są to $35$ i $75$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>