Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 295
W ilu podzbiorach zbioru $\{1, 2, 3, ..., 12\}$ suma elementu najmniejszego i elementu największego równa jest $13$?
Rozwiązanie
Rozkładów liczby $13$ na sumę dwóch uporządkowanych składników ze zbioru $\{1, 2, 3, ..., 12\}$ mamy $6$:
$13 = 1 + 12$
$13 = 2 + 11$
$13 = 3 + 10$
$13 = 4 + 9$
$13 = 5 + 8$
$13 = 6 + 7$
Podzbiory o zadanej własności możemy zatem podzielić na sześć rodzin:
podzbiory $P_1$, których elementem najmniejszym i największym jest odpowiednio liczba $1$ i $12$
podzbiory $P_2$, których elementem najmniejszym i największym jest odpowiednio liczba $2$ i $11$
podzbiory $P_3$, których elementem najmniejszym i największym jest odpowiednio liczba $3$ i $10$
podzbiory $P_4$, których elementem najmniejszym i największym jest odpowiednio liczba $4$ i $9$
podzbiory $P_5$, których elementem najmniejszym i największym jest odpowiednio liczba $5$ i $8$
podzbiór $P_6 = \{6, 7\}$
Każdy podzbiór $P_1$ powstaje z pewnego podzbioru zbioru $\{2, 3, ..., 11\}$ przez dodanie do niego elementów $1$ i $12$. Takich podzbiorów jest $2^{10}$. Analogicznie podzbiorów $P_2, P_3, P_4, P_5$ będzie $2^8$, $2^6$, $2^4$ i $2^2$. Podzbiór $P_6$ jest tylko jeden.
Wszystkich podzbiorów jest łącznie $2^{10} + 2^8 + 2^6 + 2^4 + 2^2 + 1 = 1365$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>