Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 296
Ile jest sposobów ustawienia na szachownicy $8$×$8$ dwóch nierozróżnialnych, atakujących się wzajemnie skoczków szachowych?
Rozwiązanie
Skoczek ma osiem rodzajów ruchów, które można opisać w metryce miasto w postaci: $(x,y)$, gdzie $x$ to liczba pól w kierunku poziomym, a $y$ to liczb pól w kierunku pionowym.
Mamy zatem następujące ruchy: $(2,1)$, $(1,2)$, $(-1,2)$, $(-2,1)$, $(-2,-1)$, $(-1,-2)$, $(1,-2)$, $(2,-1)$.
Załóżmy, że skoczek stanowi połączenie ośmiu figur, z których każda ma ruchy tylko jednego rodzaju. Sprawdźmy na ile sposobów można postawić na szachownicy $n$×$n$ (2,1)-skoczka tak, aby atakował pole szachownicy. Może on stać w dowolnej kolumnie za wyjątkiem dwóch ostatnich oraz w dowolnym wierszu z wyjątkiem ostatniego. Kolumnę można wybrać na $(n-2)$ sposobów, a wiersz na $(n-1)$ sposobów. Otrzymujemy $(n-1)(n-2)$ sposobów ustawienia skoczka jednego koloru. Wobec zachodzącej symetrii ogólna liczba ustawienia dwóch rozróżnialnych skoczków, przy których każdy z nich atakuje drugiego wynosi $4(n-1)(n-2)$.
Dla $n=8$ otrzymujemy 168 sposobów.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>