Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 299
Rozmieszczamy losowo sto jednakowych kul w trzynastu szufladach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadna szuflada nie będzie pusta?
Rozwiązanie
Niech $A$ oznacza zdarzenie żadna szuflada nie będzie pusta.
Każdemu rozmieszczeniu możemy przyporządkować ciąg $(a_1, a_2, \ldots, a_{13})$, gdzie $a_i$ oznacza liczbę kul w i-tej szufladzie, gdzie $0 \le a_i \le 100$, dla $i = 1,2,\ldots,13$.
Wszystkich możliwych rozmieszczeń jest tyle, ile rozwiązań równania $a_1 + a_2 + \ldots + a_{13} = 100$ w liczbach całkowitych nieujemnych, czyli ${{100+13-1} \choose {13-1}}$.
Niech $b_i$ będzie liczbą kul w $i$-tej szufladzie $1 \le i \le 13$, wówczas $1 \le b_i \le 100$ oraz $b_1 + b_2 + \ldots + b_{13} = 100$, gdzie składniki są liczbami naturalnymi. Równanie to ma w liczbach naturalnych ${{100-1} \choose {13-1}}$ rozwiązań.
Prawdopodobieństwo $P(A) = \frac{{{100-1} \choose {13-1}}}{{{100+13-1} \choose {13-1}}} \approx 0.209$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>