Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 305
W zbiorze liczb całkowitych określono działanie $\oplus$ w następujący sposób: $a \oplus b = a-b + ab$, dla $a, b \in Z$
Ile rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych ma równanie $(x \oplus y) \oplus z + (y \oplus z) \oplus x = (y \oplus x) \oplus z$?
Rozwiązanie
Należy zauważyć, że $(a \oplus b) = (a-1)(b+1) + 1$
Stąd $(a \oplus b) \oplus c = (a - b + ab)-c + c(a - b + ab) = (c+1)(a-b+ab)-c = (c+1)(a-1)(b+1)+1$
Wówczas:
$(x \oplus y) \oplus z = (z+1)(x-1)(y+1)+1$
$(y \oplus z) \oplus x = (x+1)(y-1)(z+1)+1$
$(y \oplus x) \oplus z = (z+1)(y-1)(x+1)+1$
Mamy więc $(y \oplus z) \oplus x = (y \oplus x) \oplus z$
Równanie redukuje się do postaci $(z+1)(x-1)(y+1)+1 = 0$
$(z+1)(x-1)(y+1) = -1$
Równanie to posiada $4$ rozwiązania $(x,y,z)$:
$(0, -2, -2)$
$(0, 0, 0)$
$(2, -2, 0)$
$(2, 0, -2)$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>