Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 306
Oblicz pole pięciokąta, którego wierzchołkami są zespolone pierwiastki wielomianu $W(x) = x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$.
Rozwiązanie
Ponieważ $(x-1)W = x^6 - 1$, więc pierwiastki wielomianu $W$ są różnymi od $1$ pierwiastkami stopnia $6$ z jedynki.
Pięciokąt powstaje z sześciokąta foremnego o boku $1$ przez odcięcie trójkąta utworzonego z trzech kolejnych wierzchołków.
Powierzchnia pięciokąta równa jest $\frac{6\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \sin{120^\circ} = \frac{5\sqrt{3}}{4}$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>