Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 309
Wielobokiem nazywamy łamaną zamkniętą, łącznie ze wszystkimi obszarami ograniczonymi, stanowiącymi składowe uzupełnienia tej łamanej do płaszczyzny. Punkty przecięcia nie sąsiadujących ze sobą boków w wieloboku (o ile takie istnieją) nazywamy punktami wielokrotnymi.
Na rysunku powyżej jest pięć pięcioboków o liczbie punktów podwójnych odpowiednio $0, 1, 2, 3, 5$, i są to wszystkie możliwości, nie istnieje pięciobok o czterech punktach podwójnych. Dla pięcioboku największa możliwa liczba punktów podwójnych wynosi $5$.
Zadanie: Jaka jest największa możliwa liczba punktów podwójnych w dziesięcioboku?
Rozwiązanie
Najwięcej punktów podwójnych mógłby mieć $n$-bok, w którym każdy bok przecinałby wszystkie nie sąsiadujące z nim boki, których jest $n-3$.
Jeśli na każdym boku wieloboku będzie $n-3$ punktów podwójnych to każdy punkt liczony jest dwukrotnie, raz jako leżący na jednym z przecinających się dwóch boków, drugi raz jako leżący na drugim. Różnych punktów podwójnych będzie więc $\frac{n(n-3)}{2}$ i to jest największa, teoretycznie możliwa ich liczba.
Ale z faktu wyznaczenia największej teoretycznie możliwej liczby punktów podwójnych w wieloboku nie wynika ani to, że istnieją takie wieloboki, ani to, że istnieją $n$-boki mogące zawierać dowolną liczbę punktów podwójnych od $0$ do $\frac{n(n-3)}{2}$.
Okazuje się, że zależy to od parzystości liczby boków wieloboku. W przypadku nieparzystej liczby boków $n$ istnieją wieloboki, dla których liczby punktów podwójnych są równe kolejnym liczbom całkowitym od $0$ do ich liczby maksymalnej, czyli $\frac{n(n-3)}{2}$, za wyjątkiem przedostatniego wyrazu tego ciągu.
W przypadku parzystej liczby boków $n$ istnieją wieloboki, dla których liczby punktów podwójnych są równe kolejnym liczbom całkowitym od $0$ do maksymalnej ich liczby, która w tym przypadku wynosi $\frac{n(n-4)}{2} + 1$.
Dla $n = 10$ istnieje najwięcej $31$ punktów podwójnych.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>