Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 310
Dany jest ciąg $(a_n)$ zdefiniowany następująco: $a_0=1$, $a_1=2$, $a_{n+2} = a_n + (a_{n+1})^2$. Ile wynosi reszta z dzielenia liczby $a_{2013}$ przez 7?
Rozwiązanie
Poniżej wypisane są reszty z dzielenia przez $7$ początkowych wyrazów ciągu.
$1, 2, 5, 6, 6, 0, 6, 1, 0, 1, 1, 2, ...$
Ponieważ dany wyraz ciągu zależy tylko od dwóch poprzednich wyrazów tego ciągu, więc reszta z dzielenia przez $7$ danego wyrazu ciągu, zależy jedynie od reszt z dzielenia przez $7$ dwóch poprzednich wyrazów tego ciągu. Ciąg reszt z dzielenia przez $7$ jest okresowy o okresie $10$. Zatem reszta z dzielenia wyrazu $(a_{2013})$ jest taka sama jak reszta z dzielenia wyrazu $(a_{3})$ i wynosi $6$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>