Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 312
Jaka jest ostatnia cyfra liczby $13^{13^{13^{13}}}$.
Rozwiązanie
$13^{13^{13^{13}}} \equiv 3^{13^{13^{13}}} \pmod {10} $
Ostatnie cyfry potęgi liczby trzy tworzą ciąg okresowy $3, 9, 7, 1, 3, 9,\ldots$ o okresie $4$, więc $3^{13^{13^{13}}} \equiv 3^q \pmod {10}$, gdzie $q$ jest resztą z dzielenia liczby $13^{13^{13}}$ przez $4$.
Ponieważ $13 \equiv 1 \pmod {4}$ i wykładnik jest nieparzysty, więc $q \equiv 1 \pmod {4}$
Mamy $3^q \equiv 3 \pmod {10}$
Szukaną cyfrą jest $3$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>