Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 318
Wyznacz ostatnią cyfrę sumy $1^1 +2^2 + 3^3 + \ldots + 2013^{2013}$.
Rozwiązanie
Rozpatrzmy osobno sumy, których ostatnie cyfry podstawy to kolejno $1,2,3,4,5,6,7,8,9,0$
Ostatnia cyfra $1$:
$S_1= 1^1 + 11^{11} + 21^{21} + \ldots + 2011^{2011}$
Ostatnią cyfrą każdego ze składników sumy jest $1$, składników mamy $202$, więc ostatnią cyfrą $S_1$ jest cyfra $2$.
Ostatnia cyfra $2$:
$S_2= 2^2 + 12^{12} + 22^{22} + \ldots + 2012^{2012}$
Ostatnią cyfrą składników tej sumy jest na przemian $4$ lub $6$. Składników mamy $202$ - parzyście, więc ostatnią cyfrą $S_2$ jest cyfra $0$.
Ostatnia cyfra $3$:
$S_3= 3^3 + 13^{13} + 23^{23} + \ldots + 2013^{2013}$
Ostatnią cyfrą składników sumy jest na przemian $7$ lub $3$. Składników mamy $202$ - parzyście, więc ostatnią cyfrą $S_3$ jest cyfra $0$.
Ostatnia cyfra $4$:
$S_4= 4^4 + 14^{14} + 24^{24} + \ldots + 2004^{2004}$
Ostatnią cyfrą każdego ze składników sumy jest $6$. Składników mamy $201$, ostatnią cyfrą $S_4$ jest cyfra $6$.
Ostatnia cyfra $5$:
$S_5= 5^5 + 15^{15} + 25^{25} + \ldots + 2005^{2005}$
Ostatnią cyfrą każdego ze składników sumy jest $5$. Składników mamy $201$, ostatnią cyfrą $S_5$ jest cyfra $5$.
Ostatnia cyfra $6$:
$S_6= 6^6 + 16^{16} + 26^{26} + \ldots + 2006^{2006}$
Ostatnią cyfrą każdego ze składników sumy jest $6$. Składników mamy $201$, ostatnią cyfrą $S_6$ jest cyfra $6$.
Ostatnia cyfra $7$:
$S_7= 7^7 + 17^{17} + 27^{27} + \ldots + 2007^{2007}$
Ostatnią cyfrą składników sumy jest na przemian $3$ lub $7$. Składników mamy $201$, ostatnią cyfrą $S_7$ jest cyfra $3$.
Ostatnia cyfra $8$:
$S_8= 8^8 + 18^{18} + 28^{28} + \ldots + 2008^{2008}$
Ostatnią cyfrą składników sumy jest na przemian $6$ lub $4$. Składników mamy $201$, ostatnią cyfrą $S_6$ jest cyfra $6$.
Ostatnia cyfra $9$:
$S_9= 9^9 + 19^{19} + 29^{29} + \ldots + 2009^{2009}$
Ostatnią cyfrą każdego ze składników sumy jest $9$. Składników mamy $201$, ostatnią cyfrą $S_9$ jest cyfra $9$.
Ostatnia cyfra $0$:
$S_0= 10^{10} + 20^{20} + 30^{30} + \ldots + 2010^{2010}$
Ostatnią cyfrą każdego ze składników sumy jest $0$, więc ostatnią cyfrą $S_{10}$ jest cyfra $0$.
Ostatnia cyfra sumy $1^1 +2^2 + 3^3 + \ldots + 2013^{2013}$ jest ostatnią cyfrą sumy $2+0+0+6+5+6+3+6+9+0 =37$ i jest to cyfra $7$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>