Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 321
Cztery kule o promieniu $1$ są parami styczne. Oblicz promień kuli stycznej zewnętrznie do każdej z tych kul.
Rozwiązanie
Niech $r$ oznacza promień kuli stycznej zewnętrznie do czterech kul o promieniu $1$.
Środki rozważanych kul są wierzchołkami czworościanu foremnego o krawędzi $a=2$. Środek kuli stycznej zewnętrznie jest punktem przecięcia się wysokości czworościanu. Wysokości czworościanu foremnego dzielą się w stosunku $3:1$ oraz wysokość czworościanu foremnego o krawędzi $a$ równa jest $H = \sqrt{\frac{2}{3}}a = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Mamy zatem $1 + r = \frac{3}{4}H \Rightarrow r = \frac{3}{4}H -1$.
$r = \frac{3}{4} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3} -1$.
Ogólnie
Ponieważ $a=2R$, gdzie $R$ jest promieniem kul stycznych, więc $r = \frac{3}{4}H - R = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot 2R - R = (\frac{\sqrt{6}}{2} - 1)R$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>