Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 323
Na płaszczyźnie danych jest $6$ punktów, z których żadne $3$ nie są współliniowe. Przez każde trzy z tych punktów prowadzimy okrąg. Jaka jest największa możliwa liczba punktów przecięcia się tych okręgów?
Rozwiązanie
Aby liczba punktów przecięcia się okręgów była jak największa musi być spełniony warunek, aby żadne cztery punkty nie leżały na jednym okręgu. Wtedy liczba poprowadzonych okręgów będzie równa ${6 \choose 3} = 20$, przy czym przez dany punkt przechodzi $ {5 \choose 2} = 10$ okręgów, a przez dwa dane punkty przechodzą ${4 \choose 1} = 4$ okręgi.
Rozpatrzmy jeden z okręgów, przechodzący przez punkty $A,B,C$.
Jest jeden okrąg, który nie przechodzi przez żaden z tych punktów, a wybrany okrąg przecina go w $2$ punktach. Mamy $3(10 - 2\cdot4 + 1) = 9$ okręgów, które przechodzą przez jeden z punktów $A,B,C$, ale nie przechodzą przez żadną parę tych punktów. Dają one po jednym punkcie przecięcia różnym od $A,B,C$. Pozostałe okręgi przecinają się z wybranym w dwóch spośród punktów $A,B,C$. W rezultacie dany okrąg daje $11$ punktów przecięcia różnych od $A,B,C$.
Ogółem otrzymujemy $\frac{{6 \choose 3} \cdot 11}{2} = 110$ punktów przecięcia różnych od danych. Dodając te $6$ punktów otrzymujemy, że największa liczba punktów przecięcia wynosi $116$.
Dla dowolnej liczby punktów $n$, z których żadne trzy nie są współliniowe, ich największa możliwa liczba punktów przecięcia równa jest $\frac{5(2n-1)}{3}\cdot {n \choose 5} + n$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>