Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 325
Oblicz powierzchnię $13$-kąta o kolejnych wierzchołkach w punktach $(20, -20), (45, -15), (15, -10), (10, 20), (20, 25), (-25, 30), (-15, 15), (-30, 20), (-35, 5), (-20, 10), (-25, -5), (-10, -49), (-6, -10)$ układu współrzędnych, gdzie pierwszy i ostatni punkt są kolejnymi wierzchołkami.
Rozwiązanie
Pole wielokąta o kolejnych wierzchołkach w punktach: $ (x_1,y_1) (x_2,y_2) ... (x_n, y_n) $ jest równe: $ \frac{1}{2} \cdot |(x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_3 + x_3 \cdot y_4 + ... + x_n \cdot y_1 - y_1 \cdot x_2 - y_2 \cdot x_3 - y_3 \cdot x_4 - ... - y_n \cdot x_1| $
Wzór ten jest wyprowadzony z spostrzeżenia, że pole dowolnego wielokąta prostego, to suma pól (ze znakiem) trapezów o jednym z boków leżącym na osi $X$ a drugim z boków będącym odcinkiem - bokiem wielokąta.
Podstawiając otrzymujemy: $(20 \cdot (-15)) - (-20 \cdot 45) + (45 \cdot -10) - (-15 \cdot 15) + (15 \cdot 20) - (-10 \cdot 10) + (10 \cdot 25) - (20 \cdot 20) + (20 \cdot 30) - (25 \cdot (-25)) + (-25 \cdot 15) - (30 \cdot (-15)) + (-15 \cdot 20) - (15 \cdot (-30)) + (-30 \cdot 5) - (20 \cdot (-35)) + (-35 \cdot 10) - (5 \cdot (-20)) + (-20 \cdot (-5)) - (10 \cdot (-25))+ (-25 \cdot (-49)) - (-5 \cdot (-10)) + (-10 \cdot (-10)) - (-49 \cdot (-6)) + (-6 \cdot (-20)) - (-10 \cdot 20) = 4026$
$P = |\frac{4026}{2}| = 2013$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>