Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 329
Trzy jednakowe okręgi są wzajemnie styczne zewnętrznie i styczne wewnętrznie do większego okręgu koła o powierzchni $1$. Oblicz powierzchnię zacieniowanego obszaru.
Rozwiązanie
Oznaczmy promień dużego i małego z kół odpowiednio przez $R$ i $r$. Łącząc dwa środki małych kół oraz łącząc je ze środkiem dużego koła otrzymujemy trójkąt równoramienny o kątach $30^\circ, 30^\circ, 120^\circ$ i bokach długości odpowiednio równych $R-r$, $R-r$, $2r$.
Korzystając z własności trygonometrycznych otrzymujemy $\frac{r}{R-r}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$
$\frac{r^{2}}{R^{2}}=\frac{3}{7+4\sqrt{3}} $
Powierzchnia mniejszego koła wynosi $\frac{3}{7+4\sqrt{3}}$.
Powierzchnia obszaru zacieniowanego równa jest $ 1-\frac{9}{7+4\sqrt{3}}$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>