Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 335
Dany jest ciąg $a_1, a_2, a_3, \ldots$ liczb całkowitych dodatnich taki, że $a_ka_{k+2} = a_{k+1}+1$, dla każdego $k$. Znajdź maksymalną wartość $a_{2014}$.
Rozwiązanie
Mamy dany wzór $a_{k+2} = \frac{a_{k+1} + 1}{a_k}$, z którego otrzymujemy:
$a_{3} = \frac{a_{2} + 1}{a_1}$
$a_{4} = \frac{a_{3} + 1}{a_2} = \frac{a_2 + a_1 + 1}{a_1a_2}$
$a_{5} = \frac{a_{4} + 1}{a_3} = \frac{a_1 + 1}{a_2}$
$a_{6} = \frac{a_{5} + 1}{a_4} = a_1$
$a_{7} = \frac{a_{6} + 1}{a_5} = a_2$
Ciąg jest okresowy o okresie $5$.
$a_{2014} = a_4 = \frac{a_2 + a_1 + 1}{a_1a_2} = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_1a_2}$.
Każdy składnik jest równy co najwyżej 1, a suma wynosi co najwyżej 3.
Dla $a_1 = a_2 = 1$ otrzymujemy, że $a_{2014}=3$.
Wyraz $a_{2014}$ równy jest $3$ dla sekwencji $1,1,2,3,2,1,1,2,3,2,1,1,\ldots$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>