Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 336
Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowa liczba dziesięciocyfrowa o różnych cyfrach jest podzielna przez $11$?
Rozwiązanie
Liczba jest podzielna przez $11$, jeśli różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych jest podzielna przez $11$. Ponieważ suma wszystkich cyfr wynosi $45$, więc jedyną możliwością jest, gdy jedna suma wynosi $17$, a druga $28$.
Jest jedenaście takich sum cyfr równych 28 (suma pozostałych cyfr wynosi 17):
$9 + 8 + 7 + 4 + 0$
$9 + 8 + 7 + 3 + 1$
$9 + 8 + 6 + 5 + 0$
$9 + 8 + 6 + 4 + 1$
$9 + 8 + 6 + 3 + 2$
$9 + 8 + 5 + 4 + 2$
$9 + 7 + 6 + 5 + 1$
$9 + 7 + 6 + 4 + 2$
$9 + 7 + 5 + 4 + 3$
$8 + 7 + 6 + 5 + 2$
$8 + 7 + 6 + 4 + 3$
Dla każdej takiej sumy mamy dwie możliwości umieszczenia tych cyfr w pozycjach parzystych lub nieparzystych oraz 5! przestawień cyfr.
Ponieważ cyfra zero nie może wystąpić na pierwszej pozycji, więc mamy $11 \cdot 2 \cdot 5! \cdot 5! \cdot \frac{9}{10}$ liczb podzielnych przez 11. Wszystkich liczb jest $9 \cdot 9!$, więc prawdopodobieństwo wynosi $\frac{11 \cdot 4!}{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6} = \frac{11}{126} \approx 0.087$
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>