Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 337
Ramiona i krótsza podstawa trapezu równoramiennego mają długości równe 1. Oblicz maksymalną powierzchnię tego trapezu.
Rozwiązanie
Niech kąt $\alpha$ będzie kątem między dłuższą podstawą a ramieniem.
Otrzymujemy $\sin\alpha + \sin\alpha\cos\alpha = \sin\alpha + \frac{1}{2}\sin{2\alpha}$
Powierzchnia osiągnie ekstremum, gdy pochodna równa jest zero. Mamy $\cos\alpha + \cos{2\alpha} = 0$
$\cos{2\alpha} = 2\cos^2\alpha - 1$
$2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1 = 0$
$\cos\alpha = \frac{-1 \pm 3}{4} = \frac{1}{2} lub -1$
$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Maksymalne pole trapezu wynosi $\frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1.299$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>