Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 338
W trójkącie $ABC$ wysokość opuszczona na bok $AB$ dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty, z których każdy jest podobny do trójkąta $ABC$. Jaka jest najmniejsza możliwa długość boku $AB$ trójkąta $ABC$, jeśli długości boków wszystkich trzech trójkątów wyrażają się liczbami całkowitymi?
Rozwiązanie
Niech wysokość opuszczona na bok $AB$ przecina go w punkcie $D$. Oznaczmy długości boków $AB, BC, CA$ odpowiednio przez $c,a,b$. Ponieważ trójkąty $ABC, ADC, BCD$ są podobne, więc mamy:
$\frac{b}{|BD|} = \frac{c}{b} \Rightarrow |AD| = \frac{b^2}{c}$
$\frac{a}{|BD|} = \frac{c}{a} \Rightarrow |BD| = \frac{a^2}{c}$
$\frac{1}{2}|CD| \cdot a = \frac{1}{2}ab \Rightarrow |CD| = \frac{ab}{c}$
Trójka $(a,b,c)$ musi być postaci $(kx, ky, kz)$, dla całkowitego $k$, gdzie $x,y,z$ jest trójką pitagorejską, a wartości są parami względnie pierwsze. Należy znaleźć najmniejsze takie $k$, że $kz|k^2y^2$. Mamy $z|k$, czyli $k$ jest najmniejsze dla $k=z$, stąd szukane $c=z^2$. Podstawiając najmniejszą trójkę pitagorejską $(3,4,5)$ otrzymujemy, że $c=25$.
Długości boków trójkąta $ABC$ są równe $15,20,25$, a wysokość opuszczona na bok $AB$ ma długość $12$ i dzieli go na dwa odcinki o długości $9$ i $16$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>