Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 340
Niech $n$ będzie liczbą trzycyfrową, której różnica każdych dwóch czynników pierwszych jest podzielna przez $3$, a $d(n)$ oznacza liczbę dzielników liczby $n$. Znajdź największą wartość $n \cdot d(n)$.
Rozwiązanie
Trzycyfrowe liczby spełniające warunki zadania możemy podzielić na cztery grupy:
- liczby pierwsze,
- liczby złożone o takich samych czynnikach,
- liczby złożone o czynnikach pierwszych: $7, 13, 19, 37, \ldots$,
- liczby złożone o czynnikach pierwszych: $2, 5, 11, 17, 23, 29, \ldots$.
Dla największej liczby pierwszej $997$, mamy $997 \cdot 2 = 1994$.
W grupie drugiej maksymalną wartość otrzymujemy dla $n=2^9=512$, $512 \cdot 10 = 5120$.
W grupie trzeciej liczba $n$ może mieć co najwyżej trzy czynniki, w tym dwa różne, więc największą wartość otrzymamy dla liczby $n=7^2 \cdot 19 = 931$, która ma $6$ dzielników. $931 \cdot 6=5586$
W czwartej grupie liczba $n$ może mieć co najwyżej trzy różne czynniki. Największą wartość otrzymujemy dla liczby $n=2^4 \cdot 5 \cdot 11 = 880$, która ma $5 \cdot 2 \cdot 2 = 20$ dzielników.
Rozwiązaniem jest $880 \cdot 20 = 17600$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>