Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 7
Pewna liczba naturalna powiększona o iloczyn swoich cyfr daje swój anagram. Jaka jest najmniejsza liczba o tej własności?
Rozwiązanie
Dwie liczby będące anagramem muszą być różne, zatem liczby, w których występuje cyfra zero nie spełniają warunków zadania.
Rozpatrując liczby dwucyfrowe musi zachodzić anagram (xy, yx), gdzie x i y to cyfry różne od zera.
Wartość liczby xy wynosi 10x + y, a wartość liczby anagramu yx wynosi 10y + x.
Otrzymujemy równanie:
10y + x = 10x + y + x · y
9(y - x) = x · y
Stąd wniosek, że iloczyn x · y musi być podzielny przez 9 oraz dodatkowo x ≈ y.
Równanie to nie posiada rozwiązań, zatem nie istnieją liczby dwucyfrowe spełniające warunki zadania.
Wśród liczb trzycyfrowych sytuacja się nieco komplikuje. Zachodzić bowiem może
(xyz, xzy),
(xyz, yzx),
(xyz, yxz),
(xyz, zyx),
(xyz, zxy).
Po przekształceniach otrzymujemy pięć równań, które należy rozwiązać w zbiorze cyfr.
9(z - y) = x · y · z
9(11z - y - 10x) = x · y · z
9(z + 10y 11x) = x · y · z
99(z - x) = x · y · z
90(y - x) = x · y · z
Wnioskujemy, że iloczyn cyfr liczby naturalnej x · y · z musi być podzielny przez 9, ponadto w równaniu czwartym przez 99 (to równanie nie posiada rozwiązań) i w równaniu piątym przez 90.
Otrzymujemy 10 liczb trzycyfrowych spełniających warunki zadania. Poniżej wszystkie pary liczb trzycyfrowych anagramów uporządkowane rosnąco:
(239, 293)
(326, 362)
(364, 436)
(497, 749)
(563, 653)
(598, 958)
(613, 631)
(637, 763)
(695, 965)
(819, 891)
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>