Rozwinięcie Laplace'a

Obliczanie wyznacznika dowolnego stopnia

Wyznacznik dowolnego stopnia można obliczyć wprost z definicji, jednak jest to bardzo czasochłonne dla dużego n. Lepiej skorzystać z faktu, że dodanie lub odjęcie od dowolnego wiersza (kolumny) innego wiersza (kolumny) nie zmienia wartości wyznacznika i tym sposobem sprowadzić jak najwięcej elementów pewnego wiersza (kolumny) do zera.

Jeśli skreślimy z macierzy A pewną liczbę wierszy i kolumn tak, aby elementy nieskreślone utworzyły macierz kwadratową M, to wyznacznik detM nazywamy minorem macierzy.

Minorem odpowiadającym elementowi a_ij macierzy kwadratowej A nazywamy wyznacznik, który powstaje z elementów pozostałych po skreśleniu i-tego wiersza i j-tej kolumny. Oznaczamy symbolicznie M_ij.

Przykładami minorów macierzy są
$| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \end{matrix} | = - 4$ , $| \begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \end{matrix} | = - 51$

Są to minory odpowiednio drugiego i trzeciego stopnia. Pierwszy minor powstał przez skreślenie drugiego wiersza oraz pierwszej i trzeciej kolumny. Drugi powstał przez skreślenie trzeciej kolumny.

Dopełnieniem algebraicznym A_ij elementu a_ij nazywamy liczbę równą iloczynowi minora M_ij odpowiadającego temu elementowi i wyrażenia (-1)^i+j.
A_ij = (-1)^i+jM_ij

Dla każdej macierzy A o wymiarach n×n wyznacznik detA spełnia regułę zwaną rozwinięciem Laplace'a. Wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów dowolnie wybranego wiersza (kolumny) przez ich dopełnienia algebraiczne.

detA = a_i1A_i1 + a_i2A_i2 + ... + a_inA_in (rozwinięcie względem i-tego wiersza)
detA = a_1jA_1j + a_2jA_2j + ... + a_njA_nj (rozwinięcie względem j-tej kolumny)

Rozwinięcia Laplace'a ułatwiają obliczenia wyznaczników stopnia wyższego niż 3. Zastosowanie twierdzenia Laplace'a kontynuujemy do uzyskania macierzy, której wyznacznik można obliczyć z drugiego lub trzeciego stopnia.

Przykład
Następujący wyznacznik obliczamy rozwijając według drugiej kolumny:
$| \begin{matrix} 1 & 3 & -4 & 2 \\ 3 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 5 & 2 \end{matrix} | = - 3 \cdot | \begin{matrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \end{matrix} | + 0 \cdot | \begin{matrix} 1 & -4 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \end{matrix} | - 1 \cdot | \begin{matrix} 1 & -4 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \\ 0 & 5 & 2 \end{matrix} | + 0 \cdot | \begin{matrix} 1 & -4 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \end{matrix} | = (- 3) \cdot (- 63) - 1 \cdot 63 = 126$