Silnia

W kombinatoryce pojawia się często wyrażenie będące iloczynem kolejnych liczb naturalnych, w których najmniejszym czynnikiem jest liczba $1$. Ponieważ dla dużych $n$ wyrażenia takie powodowały skomplikowany zapis mnożeń, postanowiono wprowadzić nowe działanie jednoargumentowe, oznaczyć go symbolem wykrzyknika i nazwać silnią z liczby $n$.

Silnią liczby naturalnej $n$ nazywamy iloczyn wszystkich dodatnich liczb naturalnych nie większych niż $n$. Ponadto umawiamy się, że $0! = 1$.

Silnię można także zdefiniować za pomocą rekurencji:
$0! = 1$
$n! = (n-1)! \cdot n$, $n \in N_+$

Z powyższej definicji wynika, że $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$ oraz dodatkowo $0! = 1$.

$0! = 1$
$1! = 1$
$2! = 1 \cdot 2 = 2$
$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

W przypadku sumy i różnicy silni należy obliczyć wartości poszczególnych silni, a dopiero potem wykonać operację dwuargumentową dodawania lub odejmowania.
$5! + 3! = 120 + 6 = 126$
$5! - 3! = 120 - 6 = 114$

Gdy mnożymy silnie, postępujemy podobnie jak wyżej, bo niewiele nam pomoże rozbijanie poszczególnych silni na iloczyny.
$5! \cdot 3! = 120 \cdot 6 = 720$

W przypadku dzielenia jednej silni przez inną najkorzystniej jest doprowadzić licznik i mianownik do takiej postaci, dla której maksymalnie uprościmy powstały w ten sposób ułamek.

$ \frac{5!}{3!} = $ Zauważmy, że $5!={\color{blue} {1\cdot 2\cdot 3}}\cdot 4 \cdot 5 ={\color{blue} {3!}}\cdot 4 \cdot 5 $
$ \frac{5!}{3!} = \frac {3\not!\cdot 4 \cdot 5}{3\not!} = 20$ Licznik i mianownik upraszcza się przez $3!$ i otrzymujemy w wyniku $20$.

Oczywiście przykład ten można także wykonać obliczając najpierw wartości silni, a następnie dzieląc pierwszą wartość przez drugą, jednak przedstawiony wyżej sposób znacząco upraszcza rachunki dla większych liczb i warto umieć z niego korzystać.