Suma dzielników - funkcja $\sigma$
Oznaczmy przez $\sigma(n)$ sumę wszystkich dzielników naturalnych liczby $n$.
Liczba $1$ ma jeden dzielnik $\sigma(1)=1$, liczba $2$ ma dwa dzielniki: $1,2$ $\sigma(2)=1+2=3$, liczba $3$ ma dwa dzielniki: $1,3$, $\sigma(3)=1+3=4$, liczba $4$ dzielników ma trzy: $1,2,4$, więc $\sigma(4)=1+2+4=7$, itd. W przypadku niedużych liczb, sumę dzielników danej liczby, można policzyć wypisując je i sumując. Dla większych liczb możemy skorzystać z poniższego twierdzenia.
Jeśli rozkład na czynniki pierwsze liczby $n$ równy jest $n= p^{a_1}_1 p^{a_2}_2 \ldots p^{a_k}_k$, to $\sigma(n)=\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1} \cdot \frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1} \cdot \dots \cdot \frac{p_k^{a_k+1}-1}{p_k-1}$
Za pomocą tego twierdzenia, możemy policzyć sumę dzielników liczby naturalnej $n$, wykorzystując jej rozkład na czynniki pierwsze.
Sprawdźmy na przykładzie liczby $60$.
$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
$\sigma(60) = \frac{2^3-1}{1} \cdot \frac{3^2-1}{2} \cdot \frac{5^2-1}{4} = 7 \cdot 4 \cdot 6 = 168$.
Poniżej wszystkie dzielniki liczby $60$ oraz ich suma.
$D_{60}=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$
$\sigma(60) = 1+2+3+4+5+6+10+12+15+20+30+60= 168$
Jeśli liczba naturalna $p$ jest liczbą pierwszą, to $\sigma(p) = p+1$.