Twierdzenia o pochodnych funkcji
Na to aby funkcja f miała pochodną w punkcie x0 potrzeba i wystarcza, aby istniały w tym punkcie obie pochodne jednostronne i były sobie równe.
Funkcja f różniczkowalna w punkcie x0 jest w tym punkcie ciągła.
Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej
Jeżeli funkcja y = f(x) jest ciągła i ściśle monotoniczna w przedziale X
oraz różniczkowalna w pewnym punkcie x0∈X, to funkcja do niej odwrotna
x = g(y) jest różniczkowalna w punkcie
y0 = f(x0) i
g'(y0) =
, gdy f '(x0) ≠ 0.
Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej
Jeżeli funkcja u = g(x) ma w punkcie x0 pochodną
g'(x0) oraz funkcja y = f(u) ma w odpowiednim
punkcie u0 = g(x0) pochodną f '(u0),
to funkcja złożona y = f(g(x)) ma w punkcie x0
pochodną określoną wzorem
y' = f '(g(x0))g'(x0).
Twierdzenie Rolle'a
Jeżeli funkcja f spełnia następujące warunki:
- jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b>,
- jest różniczkowalna w przedziale otwartym (a, b),
- f(a) = f(b),
to istnieje taki punkt c∈(a, b), dla którego f '(c) = 0.
Twierdzenie Lagrange'a (o przyrostach funkcji)
Jeżeli funkcja f spełnia następujące warunki:
- jest ciągła w przedziale domkniętym <x0, x>,
- jest różniczkowalna w przedziale otwartym (x0, x),
to istnieje taki punkt c∈(x0, x), dla którego
f(x) - f(x0) = f '(c)(x - x0).
Dla funkcji f ciągłej w przedziale domkniętym <a, b> i różniczkowalnej
w przedziale otwartym (a, b) z twierdzenia Lagrange'a wynikają następujące wnioski:
- funkcja f jest stała w przedziale <a, b> wtedy, gdy dla
każdego x∈(a, b) f '(x) = 0.
- jeżeli f '(x) > 0 dla każdego x∈(a, b),
to funkcja f jest w tym przedziale rosnąca.
- jeżeli f '(x) < 0 dla każdego x∈(a, b),
to funkcja f jest w tym przedziale malejąca.