Twierdzenia i reguły dowodzenia

Twierdzeniem jest każde zdanie prawdziwe w teorii, nie będące aksjomatem. Bardzo często twierdzenia przyjmują postać implikacji (p₁ ∧ p₂ ∧ ... ∧ p_n) ⇒ q.
Zdania p₁, p₂, ... p_n nazywamy założeniami twierdzenia, a zdanie q - tezą twierdzenia. Inną postacią twierdzeń jest postać równoważności: p ⇔ q. Takie twierdzenia są równoważne parze twierdzeń: p ⇒ q i q ⇒ p. Tu zdania p i q przyjmują na zmianę rolę założenia i rolę tezy.

Reguły dowodzenia

Wszystkie rozumowania w dowodach matematycznych składają się z bardzo prostych kroków polegających na uznaniu pewnych zdań, czy też funkcji zdaniowych, za bezpośrednią konsekwencję logiczną innych. Te elementarne ogniwa rozumowań dedukcyjnych nazywają się regułami dowodzenia.

Reguła odrywania
Reguła odrywania (modus ponens) mówi, że jeżeli prawdziwe są zdania p oraz p ⇒ q, to prawdziwe jest zdanie q. Reguła ta znana już była u stoikow w III wieku p.n.e.

Reguła dowodu nie wprost
Przypuśćmy, że chcemy udowodnić zdanie p. W tym celu zaprzeczamy zdaniu p i dowodzimy, że z zaprzeczenia zdania p wynika fałsz, w postaci zdania r ∧ ~r.
Jeżeli zdanie p ma postać implikacji q ⇒ s, to zaprzeczeniem tego zdania jest zdanie q∧~s. Czyli zakładamy prawdziwość założeń, fałszywość tezy i dowodzimy, że stąd wynika fałsz.